ATPS - Fundamentos e Metodologia de Matemática

GABRIELA SILVA 0000036100

NILVA OLIVA 0000037243

TATIANE MOREIRA 0000036952

ATPS

ATPS apresentada à disciplina Fundamentos e Metodologia de Matemática, do 6º  Am do curso de Pedagogia, da Faculdade Anchieta/ Anhanguera, de São Bernardo do Campo. Prof.ª Maria Antônia.

SÃO BERNARDO DO CAMPO

2012

AS POSSIBILIDADES DE INTERVENÇÕES QUE O PROFESSOR DEVE FAZER PARA A CRIANÇA QUE ESTÁ NO PROCESSO INICIAL DA CONSTRUÇÃO DO CONCEITO DE NÚMERO

As crianças quando chegam à sala de aula já possuem conhecimentos prévios, vindos da experiência pessoal, trazendo com ela muitas noções matemáticas incompletas e informais. A criança nasce e convive em um ambiente sociocultural em que o número é uma forma de expressão e comunicação, interagindo com pessoas e situações do seu cotidiano, resolvendo seus problemas por meio de trocas e ações que tem a ver com comparar, reunir, subtrair e repartir objetos, reconhece número em alguns identificadores de telefone, canais de televisão, o número de seu sapato, comparação entre idades entre outros. Hoje, questiona-se qual a possibilidade de intervenção que o professor pode fazer para ajudar na construção do conceito de número.

Um grande problema nessa questão é em qual proposta pedagógica apoiar essa intervenção, pois de um lado aparece a teoria piagetiana que considera que o conceito de número e o contar dependem somente dos processos evolutivos do pensamento lógico, que o conceito de número depende do desenvolvimento dos processos de conservação, classificação e seriação, e que depende muito da faixa etária para se trabalhar cada área da matemática.

Uma outra teoria que sustenta essa possível intervenção é a de Vygotsky, para ele o sujeito é interativo, pois adquire conhecimento à partir de relações intra e interpessoais e de troca com o meio. Vygotsky defende dois níveis de desenvolvimento, o real o que a criança é capaz de fazer por si própria e o outro potencial, a capacidade de aprender com outra pessoa, a interação entre esses dois níveis é denominado (ZDP) Zona de Desenvolvimento Proximal. Ao observar a zona proximal, o professor pode orientar o aprendizado no sentido de adiantar o desenvolvimento potencial de uma criança, tornando-o real.

O conceito de número é elaborado por meio de um processo muito longo, vale lembrar que os conceitos matemáticos não passam de um nível perceptivo à um nível conceitual de uma forma espontânea e imediata e reconhecer a potencialidade e a adequação de uma dada situação para a aprendizagem, tecer comentários, formular perguntas, incentivar a verbalização pela criança, são atitudes indispensáveis ao professor, pois ele é uma peça principal para ajudar a criança na construção de conhecimento.

ÁBACO

A palavra ábaco é derivada do Latim Abacus “recipiente com areia para cálculos e escrita”, do Grego Abax, do Hebraico Abaq “areia, poeira”.

O ábaco é um objeto retangular de madeira com arames ou bastões nas posições verticais ou horizontais nos quais estão elementos de contagem (bolas, fichas, contas) que se faz deslizar livremente. É o mais antigo instrumento de cálculo inventado pelo homem. Teve origem provavelmente na Mesopotâmia a mais de 5.500 anos, há indícios que o homem utilizava o ábaco antes mesmo do desenvolvimento da escrita, nessa época eram tábuas recobertas com areia, serragem ou cal, nas quais faziam cálculos simples com o auxílio de bastões de ponta fina.  Essas tábuas de cálculo foram sofrendo transformações e aprimoramento com o passar dos séculos.

Muitos tipos de ábaco surgiram em diferentes países do Oriente e Ocidente. Os ábacos usados pelos Egípcios, Chineses e Etruscos, consistiam em estacas fixas verticalmente no chão ou numa base de madeira onde eles colocavam folhas, conchas, pedras, metal ou pedaços de osso, que representavam números cujo valor variava da estaca onde eram colocados.

O ábaco emprega um processo de cálculo com sistema decimal, atribuindo a cada haste um múltiplo de dez. Além de ser um recurso para representar quantidade, permite representar cálculos de adição e subtração, permitindo perceber as relações presentes nos cálculos convencionais dessas operações.

TABELA DOS DIFERENTES TIPOS DE ÁBACO

Tipos de ábaco	Momento histórico	Utilidades para a humanidade
Mesopotâmico	2700-2300 A.C.	Construído numa pedra lisa coberta por areia ou pó. Palavras e letras eram desenhados na areia, números eram eventualmente adicionados e bolas de pedra eram utilizados para ajudar nos cálculos.
Babilônio	Por volta de 2400 A.C.	Utilizado para operações de adição e subtração. Deu origem ao alfabeto cuneiforme babilônio. Utilizavam um ábaco construído em pedra lisa.
Egípcio	Não se tem conhecimento de sua invenção. Arqueólogos encontraram discos antigos de vários tamanhos que supõe terem sido usados como material de cálculo.	Usavam o disco na direção oposta quando comparada com o método grego.
Grego	Data de 300 a.c.	Ábaco de mármore de 149 cm de comprimento, 75 cm de largura e 4,5 cm de espessura, no qual existem 5 grupos de marcações. No centro existe um conjunto de 5 linhas paralelas igualmente divididas por uma linha vertical, tampada por um semi círculo na intersecção da linha horizontal mais ao canto da linha vertical única. Debaixo destas linhas existem um espaço largo com uma rachadura horizontal dividindo-os. Abaixo desta rachadura, existe outro grupo de onze linhas paralelas, divididas em duas seções por uma linha perpendicular a elas, mas com o semi círculo no topo da intersecção; a terceira, sexta e nona linhas estão marcadas com uma cruz onde se intersectam com a linha vertical.
Romano	Foi criado por volta do século XVIII.	Utilizado como um método normal de cálculo, ela era uma tábua com 8 orifícios onde ficavam as bolinhas de contagem e em cada orifício inferior havia 5 bolinhas e no orifício superior 4. Seu funcionamento era semelhante ao do ábaco atual.
Indiano	Fontes do século I como Abhidharmakosa, descrevem a sabedoria e o uso do ábaco na Índia. Por volta do século V, escrivães indianos estavam já à procura de gravar os resultados do ábaco.	Textos hindus usavam o termo shunya (zero) para indicar a coluna vazia no ábaco.
Chinês	O registro mais antigo que se tem é um esboço no livro da dinastia Yuan (século XVI)	Conhecido como “Suan Pan” que significa “prato de cálculo”, tem duas contas em cada vareta de cima e 5 nas varetas debaixo. Este ábaco é referido como 2/5 e em 1850 aparece o 1/5 mais fácil e rápido.
Japonês	Por volta de 1600 D.C., os japoneses adotaram uma evolução do ábaco Chinês.	Os japoneses inventaram uma versão modificada do  ábaco Chinês 1/5 para o ábaco 1/4, fabricado por volta de 1930. Desta forma é possível obter valores entre o zero e o nove (10 valores possíveis em cada coluna. Ainda hoje é utilizado no Japão, apesar da proliferação das calculadoras de bolso mais baratas.
Asteca	Teria surgido entre 900-1000 D.C.	Este ábaco era composto por sete linhas e treze colunas, as contas eram feitas de grão de milho atravessados por cordéis montados numa armação de madeira. O número sete e o treze são muito importantes na civilização Asteca.
Nativos Americanos (Incas)	Não se tem registros sobre a data de seu surgimento. Na antiga civilização Inca que habitou a região andina da América do Sul, também havia um instrumento que auxiliava nas contas denominado por eles de quipu.	As contas e armação no ábaco dos Incas eram nós e cordas. Este ábaco Mesoamericano utiliza um sistema de base 20 com 5 dígitos. O quipu dos incas eram um sistema de cordas atadas usadas para gravar dados numéricos, como varas de registro avançados, mas não eram usadas para cálculo. Os cálculos eram feitos utilizando uma yupana (quéchua para tábua de contar, em uso ainda depois da conquista do Peru). Os cálculos eram baseados na sequência Fibonnaci, utilizando 1, 3, 5, e múltiplos de 10, 20, 30 e 40 para os diferentes campos do instrumento.
Russo	Inventado no século XVII e ainda hoje em uso. Ensinado em todas as escolas da União Soviética até os anos 90 e depois substituídos por calculadoras.	Opera de forma ligeiramente diferente dos ábacos orientais. As contas movem-se da esquerda para a direita e o seu desenho é baseado na fisionomia das mãos humanas. Colocam-se ambas as mãos sobre o ábaco, as contas brancas correspondem aos polegares das mãos e o resto das contas movem-se com quatro ou dois dedos. A forma de fazer operações matemáticas é semelhante ao do ábaco Chinês.
Escolar	Utilizado numa escola dinamarquesa, do séc. XX.	Em todo o mundo tem sido utilizado na educação infantil e na educação básica como uma ajuda no ensino do sistema numérico e da aritmética. Há vários tipos de ábacos, mas  todos obedecem ao mesmo princípios. Vamos nos referir ao mais simples deles. Numa moldura de madeira são fixados alguns fios de arame, dez bolinhas correm em cada fio. As do primeiro fio representam as unidades, as do segundo as dezenas, as do terceiro as centenas e assim por diante.
Cranmer	Ábaco adaptado por Helen Keller para deficientes visuais. Não se sabe quando se deu a adaptação, mas  ainda é usado com alunos em séries iniciais, tanto nas escolas públicas quanto em escolas estaduais para cegos.	É ainda utilizado por indivíduos cegos. Uma peça de tecido macio ou borracha é colocada por trás das esferas de modo que não se movam sem manipulação.  É utilizado para resolver operações matemáticas, adição, subtração, multiplicação e divisão, raiz quadrada e raiz cúbica.

ATIVIDADES COM O ÁBACO PARA COMPREENSÃO DAS CASAS DECIMAIS.

ADIÇÃO

SUBTRAÇÃO

VALOR E SIGNIFICADO DO NÚMERO ZERO

NUNCA 10

BASE 10

1)  Escreva a quantidade representada em cada ábaco:

2)  Realize o cálculo das operações no quadro de ordens e depois represente o resultado da operação no ábaco.

A)    9+1=

         B-)    20-1=

3)  Qual é o número representado no ábaco abaixo?

 PROPOSTA DE CONSTRUÇÃO DE NÚMERO UTILIZANDO O ÁBACO

Proposta realizada com uma criança de 9 anos que frequenta o 4º ano do Ensino Fundamental.

Foram usados os exercícios propostos no passo 2 da etapa 2  da nossa ATPS.

Ao perguntar à criança se ela já conhecia ou já havia trabalhado com o ábaco a criança respondeu que não.

Após uma explicação detalhada de como trabalhar com o ábaco a criança ficou apreensiva, mas aceitou tentar resolver os exercícios.

No exercício nº 1 a criança não teve muitas dificuldades, achou interessante.

No exercício nº 2 a criança teve muita dificuldade para montar a conta no quadrado, pois não sabia por onde começar.  A criança construiu várias hipóteses, mas quando viu que não estava acertando ficou muito nervosa, começou a errar o resultado das contas e até confundiu os sinas de mais e menos por causa do nervosismo.

No exercício nº 3 a criança também teve dificuldade, pois como não havia nenhuma bolinha na casa da unidade de milhar ficou com dúvida na leitura do número não sabia se era 10.314 ou 1.314.

Nesta proposta de atividade vimos que a criança ficou muito nervosa, apreensiva, e com muito medo do novo, não fez muitos questionamentos, talvez por estar nervosa, suas conjecturas às vezes foram corretas e muitas vezes não e suas afirmações foram bem colocadas.

A criança achou melhor aprender pelo ábaco apesar de tudo o que tinha acontecido nos exercícios e que gostaria que a professora usa-se o ábaco na sala de aula, que ela tinha gostado muito de usá-lo.

LISTA DE PERGUNTAS PARA O 5º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL: 10 ANOS DE IDADE.

Perfil do aluno: Conhecer as operações matemática de adição e subtração.

Competências esperadas: Compreender o valor posicional dos algarismos, suas características, regras e base do sistema de numeração decimal.

Represente no ábaco os seguintes números:

a) 100. Retire uma unidade. Quanto ficou?
b) 99. Acrescente uma unidade. O que aconteceu?
c) 540. Retire uma unidade. Quanto ficou?

d) 109. Acrescente uma unidade. Qual o total?

e) 999. Acrescente uma unidade. Qual o total? O que foi preciso fazer?

Pesquisar, no cotidiano, e enumerar no mínimo 20 situações em que as operações
matemáticas são utilizadas. 

1.      Quantidade de pães que devo comprar na padaria.

2.      O valor de cada unidade (pão).

3.      Quantos minutos eu gasto para tomar o café da manhã.

4.      O valor da passagem de ônibus.

5.      Quantidade de cada ingrediente para fazer um bolo.

6.      Quanto tempo gasta para o bolo ficar pronto.

7.       Horário que saio de casa e chego à escola.

8.      Quantos alunos faltaram na escola.

9.      Os números de telefone.

10.  Lista de compras do supermercado.

11.  Data de validade de um produto.

12.  Qual o melhor dia de compra para utilizar o cartão de crédito

13.  A distância percorrida entre minha casa e meu trabalho.

14.  Quantas bolinhas de gude ganhei no jogo.

15.  Calcular o troco.

16.  Medir minha altura.

17.  Solicitar um desconto na loja.

18.  Comparar preço.

19.  Calcular a quantidade de dias para a chegada do aniversário.

20.  Calcular a nota final da escola.

Selecionar duas situações e preparar uma atividade para ser proposta em sala de aula,
lembrando-se de definir a que ano de escolaridade se destina. 

Escolaridade: 5º ano

1.      Quantos minutos eu gasto para tomar o café da manhã.

2.      Horário que saio de casa e chego à escola.

Aplicar a proposta para crianças e escanear os registros conclusivos.

Após realizar uma sondagem acerca das situações cotidianas que os alunos observaram relacionadas com as noções sobre o tempo, será proposta uma atividade com problemas de transformação de medidas de tempo, cujo objetivo é solucionar questões que envolvam a duração de eventos e exijam a transformação de medidas de tempo.

Primeiramente é necessário orientar os alunos a estabelecer relações entre horas e minutos, deixando claro que não é possível somar horas a minutos e nem subtrair, sendo necessário fazer conversões. Diante disso, propor que cada aluno marque em uma folha o início e o término do café da manhã e os horários em que os estudantes saem de casa e chegam à escola.
Este é o momento de calcular a duração das atividades rotineiras. Na mesma folha em que anotaram os horários, cada aluno deve registrar quanto tempo levou para tomar café da manhã e gastou no trajeto de casa à escola.
Reunir os alunos em duplas para que eles conversem sobre suas resoluções e refaçam os cálculos se houver necessidade.
Propor aos alunos individualmente a resolver um determinado problema, transformando medidas de tempo.
Em seguida, analisar as dificuldades mais comuns e discutir com a sala.

Ao aplicar essa proposta aos alunos percebemos que inicialmente eles ficaram ansiosos em registrar o tempo que levam para tomar o café e calcular o tempo de ir à escola, mas tiveram muitas dificuldades para fazer a conversão de horas em minutos e minutos em segundos.

Preparar um texto, com título, esclarecimento da proposta e comentários, sobre os resultados
obtidos mediante o objetivo inicial.

Medida de Tempo

      Antes de usar o relógio e até a ampulheta o homem controlava o tempo por meios alternativos como o sol. Durante o dia podemos fazer várias coisas, entre elas: alimentar-nos, dormir, estudar, trabalhar se divertir e muito mais.

O relógio nos ajuda a coordenar nossas atividades diárias, e partindo da premissa  que o dia tem 24 horas e é maior que 1 hora que tem 60 minutos e 1 minuto que tem 60 segundos e que a partir dos dias formamos semanas, meses, anos, décadas, milênios e assim por diante.
       Trabalhando nossa proposta com os alunos de conversão de medida de  tempo,  usamos   a multiplicação para converter hora em minutos e a divisão para convertermos segundos em minutos.
        Por meio da nossa proposta o aluno desenvolveu ações relacionadas ao uso social da medida de tempo, aprendendo a identificar os dias da semana e a entender o calendário e assim ele pode estabelecer sua rotina e que sabendo quanto tempo precisamos para realizar cada  atividade   do nosso cotidiano podemos planejar melhor o nosso dia-a-dia.

Produzir um texto expondo as técnicas adotadas por no mínimo dois autores e justificando
suas propostas. 

As diferentes formas de registrar os cálculos e técnicas operatórias

A Matemática é uma ferramenta indispensável e muito importante na nossa vida, pois através dela conseguimos resolver problemas e tomar decisões de forma mais conscientes.  Em toda situação matemática fazemos cálculo, dois aspectos são fundamentais para que as crianças sejam capazes de realizar e registrar cálculos numéricos: o conhecimento da estrutura lógica do sistema de numeração decimal e o significado das operações. Dentre as várias formas de registrar os cálculos podemos citar o cálculo escrito, o cálculo mental exato, o cálculo mental aproximado e o cálculo feito com ferramentas de apoio.

O cálculo escrito é o mais utilizado nas escolas, pois permite organizar o raciocínio, registrá-lo, lê-lo e através disso chegar a resposta exata. Quando registramos os cálculos e as técnicas operatórias registramos passo a passo as ações realizadas. O problema é que muitas vezes os alunos as realizam automaticamente muitas vezes sem entender o que estão fazendo.

O cálculo mental proporciona ao aluno independência para escolher os procedimentos para calcular que lhe sejam mais úteis. Ele tem a capacidade de efetuar uma operação e encontrar sua solução independentemente de um registro numérico e sem o uso de materiais concretos, mas existe um processo para isso, que passa pela utilização de materiais concreto.

Devemos estimular, promover e desenvolver nas crianças e adolescentes a capacidade progressiva de abstração, mas para que isso aconteça, eles terão que utilizar os passos concretos, pois precisam de base concreta para realizar suas ações.  Quanto mais material concreto uma criança utilizar para fazer suas contagens, mais condições ela terá de realizar os cálculos mentais.  Porém cabe ao aluno a autonomia para escolher de que forma lhe é mais conveniente fazer esses cálculos e cabe ao professor criar na sala de aula um ambiente propício para a aquisição de novos conhecimentos.

Pesquisar sobre a importância do cálculo mental para a construção do conceito de número. 

A importância do cálculo mental para a construção do conceito de número

 Existem quatro maneiras de resolver as contas que diariamente aparecem na nossa frente: usando a calculadora, estimando o resultado com base em referências e em experiências anteriores, fazendo a conta ou usando o cálculo mental. Em atividades profissionais, geralmente os adultos usam a calculadora ou outras máquinas afins. No dia a dia, porém, o mais comum é as pessoas chegarem mentalmente ao resultado ou estimar um valor aproximado. Mas na escola essas estratégias não são valorizadas e a atenção ainda está no ensino da conta armada.
Durante muito tempo, acreditava-se que a economia de etapas e a rapidez na resolução de problemas fossem os objetivos máximos a serem alcançados na disciplina de Matemática. Diante disso, ensinar algoritmos para fazer contas parecia ser o mais indicado. Se por um lado o uso de fórmulas permite organizar o raciocínio, registrá-lo, lê-lo e chegar à resposta exata, por outro, fixa o aprendizado somente nessa estratégia e leva o estudante a conhecer apenas uma prática cada vez menos usada e, pior, a realizá-la de modo automático, sem entender exatamente o que está fazendo.

Já fazer contas de cabeça sempre foi considerada uma prática inadequada. Porém, para saber quanto vai gastar na cantina ou somar os pontos dos campeonatos esportivos, o estudante não usa o algoritmo: sem lápis e papel, ele faz aproximações, decompõe e aproxima números e alcança o resultado com bastante segurança. Além de ser um procedimento ágil, ele permite à criança ser ativa e criativa na escolha dos caminhos para chegar ao valor final.
Para garantir o sucesso dessa forma de calcular, é necessário que a turma saiba de memória alguns resultados de contas simples - como o dobro, o triplo, a metade e outras adições, subtrações, multiplicações e divisões.

Em sala de aula, é preciso mostrar aos estudantes que aquele raciocínio que parece desorganizado, na verdade, está apoiado nas propriedades das operações e do sistema de numeração. Exemplos: para resolver 99 + 26, é possível pensar da seguinte maneira: 100 + 26 = 126 - 1 = 125 (propriedade associativa da adição); para calcular 9 x 4, um caminho é partir de 9 x 2 x 2 = 18 x 2 = 36 ou de 4 x 10 = 40, 40 - 4 = 36 (propriedades associativa e distributiva da adição e da subtração em relação à multiplicação). Assim, a molecada sistematiza um conjunto de procedimentos, constrói um pessoal e consegue decidir pelo mais eficaz.
Entender que 342 é formado por 300 + 40 + 2, 300 = 100 + 100 + 100 e assim por diante ajuda a raciocinar matematicamente e a entender o sentido da conta armada. "A criança passa a entender o que significa o ‘vai 1’ ou o ‘vai 2’ do algoritmo, pois compreende que o 1 é uma dezena", explica Tereza Perez, coordenadora executiva do Centro de Educação e Documentação para a Ação Comunitária (Cedac), em São Paulo.
Assim, para solucionar o cálculo 52 - 38, por exemplo, é possível optar pela busca do complemento - fazendo 38 + 2 = 40, 40 + 10 = 50 e 50 + 2 = 52 e depois somar os números que foram acrescentados a 38 (2 + 10 + 2 = 14).
Da mesma maneira, pode-se usar a decomposição. Para resolver 15 + 14, uma opção pode ser somar as dezenas e as unidades separadamente (10 + 10 = 20 e 5 + 4 = 9) e juntar os resultados parciais (20 + 9 = 29). Em sala de aula, o importante é divulgar as várias formas de resolução para que cada um tenha a possibilidade de escolher em seu repertório a que melhor lhe convém, adquirindo autonomia.

De acordo com Antonio José Lopes Bigode, consultor na área de Matemática e autor de livros didáticos, o cálculo mental deve ser um objetivo pedagógico e ser realizado com bastante frequência na classe.

REFERÊNCIAS

Disponível em: < http://pt.scribd.com/doc/24526597/Revista-Parte-geral-Peb-II >. Acesso em: 27 set. 2012.

Disponível em: < http://200.198.28.154/sistema_crv/banco_objetos _crv/%7B1 B53AAAE-6DC9-4AD7-B7C1-1209DD9019C3%7D_EspacoeForma.pdf >. Acesso em: 27 set. 2012.

Disponível em: <http://formacaocontinuadasmec.blogspot.com.br/p/matematica.html>. Acesso em: 02 out. 2012.

Disponível em: < http://revistaescola.abril.com.br/matematica/pratica-pedagogica/prova-brasil-numeros-operacoes-475733.shtml>. Acesso em: 02 out. 2012.

Disponível em: < www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminário/abaco/historia.html >. Acesso em: 03 out. 2012.

Disponível em: < http:// abacoabaco.blogspot.com.br/2011/03/o-que-abaco.html >. Acesso em: 03 out. 2012.

Disponível em: < http:// origemdapalavra.com.br/palavras/ábaco >. Acesso em: 03 out. 2012.

Disponível em: < http www.slideboom.com/presentations/253213/abaco >. Acesso em: 03 out. 2012.

Disponível em: < http://ptwikipedia.org/wiki/Ábaco >. Acesso em: 03 out. 2012
Disponível em: < http://paraisodosprofessores.blogspot.com.br/2012/05/atividades-de-matematica-2-e-3-ano.html >. Acesso em: 03 out. 2012

Disponível em: https://www.google.com/url?q=http://revistaescola.abril.com.br/mate matica/pratica-pedagogica/problemas-transformacao-medidas-tempo-matematica-horas-calcu lo-511662.shtml&sa=U&ei=wv2YUL-IqvI0AH78oHoCg&ved=0CAcQFjAA&client=int ernal-uds-cse&usg=AFQjCNEwlHzX-7DuyqwcFgJnukDtN1kCWQ Acesso em: 03 de Nov. 2012 às 15:20 h.

CARVALHO, Dione Lucchesi de. Metodologia do ensino da matemática. 3. Edição. São Paulo: Editora Cortez, 2009.

RAMOS, Luiza Franco. Conversas sobre números, ações e operações: uma proposta criativa para o ensino da matemática nos primeiros anos. 1. Edição. São Paulo: Editora Ática, 2009.

Disponível em: < http://revistaescola.abril.com.br/matematica/fundamentos/cabeca-errar-500351.shtml >. Acesso em: 23 nov. 2012.